1クラス30人いれば同じ誕生日のペアがほぼ1組出る不思議

数学が苦手なまま大人になった人ほど、身の回りの事象を数学で解き明かすと「そうだったんだ!」と驚き、世の中の見方が一変します。幼児から大人にまで大人気の「数学お兄さん」に、文系でもわかる、ちょっとためになる数学知識を教えてもらいましょう。

誕生日が重なる確率は高い? 低い?

自分が所属する職場や学校、サークルなどで、同じ誕生日の人と出会ったことはありますか?

少人数なら偶然、大人数ならありそうなことと思うかもしれません。クラスに誕生日が重なる人がいる確率を予想してみてください。「365人(あるいは366人)いれば誕生日が重なる人がほぼ100%いるから、35人だったら10%前後かな」と思うでしょうか。

実はクラスに35人いる場合、誕生日が重なる確率は80%を超えるのです。

このように、日常の感覚からくる推定が、実際と反することを「パラドックス」といい、この誕生日の確率を「誕生日のパラドックス」といいます。

では、人数によってどのくらいの確率になるのでしょうか。1クラス30人の場合、誕生日が重なる確率が70%を超え、40人の場合は90%近くになります。所属する部活の部員が50人以上なら、95%を超えます。

このパラドックスには「えー!」と言いたくなりますよね。なぜそうなるのかを説明しましょう。

誕生日が重なる確率の計算法

前提として、対象とする誕生日はうるう年の2月29日も含めた366日で、誕生日の分布は一様に同じとします。「少なくても2人の誕生日が重なる確率」を求めるため、全体の確率1(=100%)から「誕生日が重ならない確率」を引きます。

1-誕生日が重ならない確率=重なる確率[%]

まず、2人の場合を考えてみましょう。片方の誕生日ともう片方の誕生日が異なる(重ならない)確率は「366分の365」です。

次のような計算になり、2人の誕生日が重なる確率は0.3%弱です。

365÷366=0.99726…
1-0.99726…=0.00273…

 つまり、「ほぼない」といえます。

では3人の場合はどうでしょうか。3人目の誕生日が重ならない確率は「366分の364」。3人とも誕生日が重ならない確率を求めるには、先の「2人の誕生日が重ならない確率」に、さらに「3人目の誕生日が重ならない確率」をかけます。そして、全体から引くと求めることができます(式1)。

式1

1-(365÷366)×(364÷366)
=0.00819…

2人の場合の0.3%弱に対して、0.8%に増加しています。どうやら、人数が増えることで誕生日が重なる確率は増えるようです。

人数を多くする場合は、この計算を人数分だけくり返せば、全体の「誕生日が重ならない確率」が出せます。全体の人数を「n人」とした場合は次の「式2」になります。誕生日が重なる確率は「式3」のようにして求めます。

式2

(365÷366)×(364÷366)×……×
{(365-n+1)÷366}

式3

1-(365÷366)×(364÷366)× 
……×{(365-n+1)÷366}

では、誕生日が重なる確率が50%を超えるのは全体の人数「n」が何人のときか。計算していくと、「n=23」だとわかります。この計算により、先の40人なら重なる確率は90%近くとなり、50人以上になると重なる確率は95%を超えるのです。

このように計算して確率が出ても、なんとなく納得しかねるかもしれません。それは次の異なる視点を混同しているからだったのです。

A:50人の中に同じ誕生日の人が1組以上いる確率
B:50人の中に自分と同じ誕生日の人が1人以上いる確率

Aはこれまで見てきたように、1人目と重ならない確率、2人目と重ならない確率を1から引きます。3人なら「式1」のように計算しました。
しかしBでは、「自分と重ならない確率」を人数分求める必要があります(式4)。

式4

1-(365÷366)×(365÷366)
=1-0.99477…
=0.005523…

Bの場合、3人だと確率は0.5%ほどです。ちなみに、23人の場合は5.8%です。これでは、確かに誕生日が重ならないですね。

誕生パーティー

実際に誕生日が重なるかどうか、検証してみましょう。下の表は2020年8月8日現在の、Jリーグ・浦和レッズの選手名鑑に登録されている33人の選手の誕生日です。

この中に同じ誕生日の選手がいる確率は約77.4%で、実際に2組います。あなたと同じ誕生日がいる確率は8.6%です。見つかりますか?

浦和レッズ33人の選手の生年月日

背番号 名前 生年月日
西川周作 6月18日
マウリシオ 2月6日
宇賀神友弥 3月23日
鈴木大輔 1月29日
槙野智章 5月11日
山中亮輔 4月20日
長澤和輝 12月16日
エヴェルトン 12月1日
武藤雄樹 11月7日
10 柏木陽介 12月15日
11 マルティノス 3月7日
12 ファブリシオ 3月28日
13 伊藤涼太郎 2月6日
14 杉本健勇 11月18日
16 青木拓矢 9月16日
20 トーマス デン 3月20日
22 阿部勇樹 9月6日
24 汰木康也 7月3日
25 福島春樹 4月8日
26 荻原拓也 11月23日
27 橋岡大樹 5月17日
28 岩武克弥 6月4日
29 柴戸海 11月24日
30 興梠慎三 7月31日
31 岩波拓也 6月18日
32 石井僚 7月11日
33 伊藤敦樹 8月11日
35 大久保智明 7月23日
36 鈴木彩艶 8月21日
37 武田英寿 9月15日
39 武富孝介 9月23日
41 関根貴大 4月19日
45 レオナルド 5月28日

 

僕が講師をする算数・数学講座では、参加者にこの「誕生日のパラドックス」を体験してもらうことがあります。

参加者が100人程の講座では、2人の誕生日が重なる組み合わせは12組。そのうち1組は3人の誕生日が同じでした。他の講座でも100人規模だと3人が重なることは珍しくありません。

このくらいの規模で検証すると、ビンゴゲームなみに盛り上がるかもしれません。

 

PROFILE
横山明日希

math channel代表、日本お笑い数学協会副会長。2012年、早稲田大学大学院修士課程単位取得(理学修士)。数学応用数理専攻。大学在学中から、数学の楽しさを世の中に伝えるために「数学のお兄さん」として活動を開始し、これまでに全国約200か所以上で講演やイベントを実施。2017年、国立研究開発法人科学技術振興機構(JST)主催のサイエンスアゴラにおいてサイエンスアゴラ賞を受賞。著書に『笑う数学』(KADOKAWA)、『算数脳をつくる かずそろえ計算カードパズル』(幻冬舎)などがある。

文系もハマる数学 (青春新書プレイブックス)

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